დაწყების თარიღი: 2008-01-01 დასრულების თარიღი: 2010-01-01
გამოყენებითი ამოცანების მათემატიკური მოდელირება, გამოკვლევა და რიცხვითი ამოხსნა თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთ აქტუალურ პრობლემას წარმოადგენს.
ამგვარ ამოცანებს მიეკუთვნება ელექტრომაგნიტური ველის დიფუზიის პროცესები ისეთ გარემოში, რომლის ელექტროგამტარობის კოეფიციენტიც არსებითად არის დამოკიდებული ტემპერატურაზე. ცნობილია, რომ ამ პროცესებს თან სდევს სითბოს გამოყოფა, რაც თავის მხრივ ცვლის გარემოს გამტარიანობას და გავლენას ახდენს დიფუზიის პროცესზე. ელექტრომაგნიტური ველის გარემოში გავრცელების პროცესი როგორც ცნობილია აღიწერება მაქსველის არაწრფივ კერძოწარმოებულებიან განტოლებათა მრავალგანზომილებიანი სისტემით.
აღნიშნული სისტემა რთულია როგორც თეორიული გამოკვლევების, ასევე კონკრეტული დიფუზიური პრობლემების შესწავლისთვის. ამიტომ ხშირად გამოიყენება მისი შედარებით გამარტივებული ვარიანტები. დიფუზიური პროცესების ასევე მნიშვნელოვან მოდელებს წარმოადგენენ მცენარეთა ძარღვოვანი განვითარების, ატმოსფეროს მიწისპირა ფენის სითბური რეჟიმის მათემატიკური მოდელირების და ატმოსფეროში გრიგალური ველების წარმოშობის აღმწერი კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემები. აქედან გამომდინარე, დიფუზიის ასეთი ამოცანების მათემატიკურ მოდელირებას, გამოკვლევას და რიცხვით ამოხსნას არსებითი მნიშვნელობა ენიჭება.
პროექტის მიზანია არაწრფივ კერძოწარმოებულებიან დიფერენციალურ და ინტეგრო-დიფერენციალურ განტოლებათა ზოგიერთი კლასის გამოკვლევა და რიცხვითი ამოხსნა. შესასწავლი მოდელები წარმოიშობა როგორც ზემოთაღწერილი, ასევე სხვა მრავალი რეალური პროცესის შესწავლისას. ყურადღება ძირითადად გამახვილებულია მოდელზე, რომელიც წარმოიშობა ელექტრომაგნიტური ველის გარემოში გავრცელების მათემატიკური აღწერისას.
აღვნიშნავთ, რომ Gordeziani D.G., Dzhangveladze T.A., Korshia T.K. Existence and Uniqueness of a Solution of Certain Nonlinear Parabolic Problems. Dfferential'nye Uravnenyia, 1983, V.19, N7, p.1197-1207 - შრომაში განხორციელებულ იქნა მაქსველის განტოლებათა სისტემის რედუქცია ინტეგრო-დიფერენციალურ მოდელამდე, რასაც მოჰყვა მრავალი სამეცნიერო ნაშრომის გამოქვეყნება როგორც საქართველოში, ასევე მის ფარგლებს. აღნიშნულ და სხვა მრავალ ნაშრომში შესწავლილია საწყის-სასაზღვრო ამოცანების ამონახსნების არსებობის, ერთადერთობის, ასიმპტოტური ყოფაქცევის და მიახლოებითი ამოხსნის საკითხები. ამასთან, გამოკვლევები ჩატარებულია არაწრფივობათა გარკვეული შემთხვევებისთვის.
პროექტის ავტორთა წვლილი ამ ამოცანების გადაწყვეტაში არსებითია და იგი აღწერილია მრავალ სამეცნიერო ნაშრომში, რომლებიც გამოქვეყნებულია ცნობილ სამეცნიერო ჟურნალებში.
მნიშვნელოვანია ამონახსნთა შედარების თეორემების მიღება სხვადასხვა არაწრფივი მოდელის საწყის-სასაზღვრო ამოცანისა და მათი დისკრეტული ანალოგებისთვის. ამ მხრივაც სამეცნიერო ლიტერატურა საკმაოდ მდიდარია. ჩვენს მიერ აღწერილი მოდელებისთვის ეს საკითხები ჯერ მხოლოდ საწყის ეტაპზეა და პროექტის ერთერთ მიზანს ამ კუთხითაც წინ წაწევა წარმოადგენს.
განსაკუთრებით აღსანიშნავია ის სამეცნიერო ინტერესი რასაც დღეს ე.წ. არალოკალური სასაზღვრო ამოცანები იწვევენ. ამ კუთხით მნიშვნელოვანია ბიწაძე-სამარსკის ტიპის არალოკალური ამოცანების შესწავლა და მათი მიახლოებითი ამოხსნა. ეს საკითხები, როგორც ჩვეულებრივი, ასევე კერძოწარმოებულებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლებებისთვისაც კვლავ მეტად პრობლემურია. მნიშვნელოვანია აღნიშნული ამოცანებისთვის ვარიაციული ფორმულირების შესაძლებლობის გააზრება და დეკომპოზიციური მეთოდებით მათი შესწავლა.
აღვნიშნოთ, რომ ბოლოს ჩამოთვლილი ამოცანების გამოკვლევის მხრივაც პროექტის მონაწილეებს გარკვეული გამოცდილება და სამეცნიერო პოტენციალი გააჩნიათ.