წინამორბედი ქვედანაყოფებია ინსტიტუტის 1968 წელს დაარსებისას მოქმედი გარსთა თეორიის განყოფილება, უწყვეტ ტანთა მექანიკის პრობლემების განყოფილება და მოგვიანებით, 1973 წელს შექმნილი დრეკადობის თეორიის განყოფილება. განყოფილების მიზანია გარსთა თეორიასა და დრეკადობის თეორიაში წამოჭრილი ახალი სასაზღვრო და საწყის-სასაზღვრო ამოცანების გამოკვლევა ჩვეულებრივი და კეროწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებებისათვის და მათი ამოხსნის მეთოდების შემუშავება, რისთვისაც გამოყენებული იქნება: ი. ვეკუას განზომილების რედუქციის მეთოდი; კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორიის მეთოდები; პოტენციალთა მეთოდი; ფუნდამენტურ ამონახსნთა მეთოდი; სინგულარულ ინტეგრალურ განტოლებათა მეთოდი; სასრულ ელემენტთა მეთოდი; სასაზღვრო ელემენტთა მეთოდი და სხვა ცნობილი მეთოდები. გარდა ამისა, განყოფილების მიზანია კვლევის ახალი მეთოდების შემუშავება და კონკრეტული პრაქტიკული ამოცანებისათვის რიცხვითი შედეგების მიღება.
განყოფილება შეიქმნა 1968 წელს ინსტიტუტის დაარსებისას არსებული რიცხვითი მეთოდებისა და პროგრამირების განყოფილების და მოგვიანებით შექმნილი რიცხვითი მეთოდების განყოფილების (1970წ.) და პროექციული მეთოდების განყოფილების (1973წ.) იმ თანამშრომელთა გაერთიანებით, რომლებიც 2009 წლის ივნისიდან 2018 წლის სექტემბრამდე ინსტიტუტში მოკლევადიანი ხელშეკრულებების შესაბამისად ეწეოდნენ ინდივიდუალურ სამეცნიერო-კვლევით მუშაობას. მათ აქვთ სივრცულ ნაგებობათა გათვლის გამოყენებით პროგრამათა პაკეტების შექმნის გამოცდილება. ამჟამად განყოფილება განაგრძობს, აფართოებს და ანზოგადებს ტრადიციულ თემატიკას, დაკავშირებულს უწყვეტი გარემოს ზოგიერთი წრფივი და არაწრფივი ამოცანის მოდელირებასთან, დაფუძნებასთან, მათი გათვლის ანალიზურ - დისკრეტული სქემების შექმნასთან და რიცხვით რეალიზაციასთან პროგრამული ენების გამოყენებით.
დიფერენციალური განტოლებებისა და ოპტიმალური მართვის განყოფილება არის ინსტიტუტში ადრე არსებული ორი განყოფილების - დიფერენციალური განტოლებებისა და მართვის თეორიის განყოფილების და ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების განყოფილების სამართალმემკვიდრე.
უწყვეტი და დისკრეტული სისტემების (ბიოლოგიური, ეკონომიკური, ფიზიკური და სხვა) მდგომარეობა დროის მოცემულ მომენტში, როგორც წესი, დამოკიდებულია სისტემის ყოფაქცევაზე დროის სხვადასხვა მომენტში. ასეთ შემთხვევაში ამბობენ, რომ სისტემის ევოლუციაზე გავლენას ახდენს დაგვიანების ფაქტორი, მემკვიდრეობითობისა და გადახრილი არგუმენტების ფაქტორი და ა.შ. მაგალითად, იმუნური პასუხის დიფერენციალურ მოდელში დაგვიანების ფაქტორი არის ორგანიზმში მოხვედრილ ვირუსებზე ორგანიზმის იმუნური პასუხის დაყოვნების დრო, ხოლო ეკონომიკური ზრდის მოდელში დაგვიანების ფაქტორი წარმოიშვება მაშინ, თუ კომპანია მოცემულ მომენტში ინვესტიციის განხორციელებისას ითვალისწინებს წარსულში მიღებულ შემოსავლებს. ზემოაღნიშნული ფაქტორების შემცველი უწყვეტი და დისკრეტული სისტემების ადექვატური მათემატიკური მოდელებია, შესაბამისად, ფუნქციონალურ-დიფერენციალური და ფუნქციონალურ-სხვაობიანი განტოლებები.
განყოფილების მიზანია ფუნქციონალურ-დიფერენციალური და ფუნქციონალურ-სხვაობიანი განტოლებების თვისებრივი თეორიისა და ოპტიმალური მართვის თეორიის განვითარება, სახელდობრ: 1) ფუნქციონალურ-დიფერენციალური და სხვაობიანი განტოლებებისთვის ე.წ. A ან B თვისების დადგენა; შედარების თეორემების დამტკიცება A ან B თვისებასთან მიმართებაში; ამონახსნის რხევადობისა და არარხევადობის პირობების დადგენა; A ან B თვისების დასადგენი საკმარისი (აუცილებელი და საკმარისი) პირობების მიღება ემდენფაულერის განზოგადებული განტოლებისთვის;
2) ფუნქციონალურ-დიფერენციალური განტოლებებისთვის თავმოყრილი და განაწილებული დაგვიანებით, ნეიტრალური განტოლებისთვის კოშის ამოცანის კორექტულობის გამოკვლევა, ამონახსნის ვარიაციის ფორმულების დადგენა და მათში სხვადასხვა ეფექტების გამოვლენა, ოპტიმალური მართვის ამოცანების გამოკვლევა.
თეორიული და პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყოველი ახალი შედეგი, მიღებული 1) და 2) პუქტში აღწერილი მიმართულებით აქტუალურია, რადგან საშუალებას იძლევა დადგენილი იქნეს პროცესის ევოლუციის ხასიათი და პროცესზე შეშფოთებების ზემოქმედებით გამოწვეული ეფექტები, ასევე, პროცესის საწყისი მონაცემების ოპტიმალურად შერჩევის კრიტერიუმები.
კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებების გამოკვლევა და მიახლოებითი ამოხსნა ერთ-ერთი მთავარი სამეცნიერო მიმართულება იყო თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტთან 1966 წლიდან არსებულ გამოყენებითი მათემატიკის სამეცნიერო-კვლევით პრობლემურ ლაბორატორიაში, შემდეგ კი ამ ლაბორატორიის ბაზაზე 1968 წელს დაარსებულ გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტში. 1979 წლიდან ა.ბიწაძის ინიციატივით ამოქმედდა საინსტიტუტო სემინარი „კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები“, უკვე 1980 წელს კი შეიქმნა ამავე დასახელების განყოფილება. ამჟამად განყოფილებაში მიმდინარეობს ისეთი დიფერენციალური და ინტეგრო-დიფერენციალური მოდელების გამოკვლევა და მიახლოებითი ამოხსნა, რომლებიც დაკავშირებულია მრავალი თეორიული და პრაქტიკული ამოცანის გადაწყვეტასთან. თემატურად განყოფილებაში ხორციელდება მყარი სხეულების, მათ შორის გარსების დრეკადი წონასწორობის მდგომარეობის ამსახველი მოდელებით, გარემოში ელექტრომაგნიტური ველის გავრცელების მაქსველის სისტემებით, გამოსხივების გადატანის ბოლცმანის მოდელებით და სხვა პროცესების მათემატიკური მოდელირებით ინიცირებული ამოცანების შესწავლა.
განყოფილება არის ინსტიტუტში 1982 წელს დაარსებული ამავე სახელწოდების განყოფილების სამართალმემკვიდრე. მისი მიზანია განავითაროს წინამორბედი განყოფილებისათვის ტრადიციული თემატიკა, კერძოდ, ფუნქციათა სივრცეების შესწავლა და მათი გამოყენება ფურიეს მწკრივების კრებადობის საკითხებში, და მისცეს მას გამოყენებითი ხასიათი ინსტიტუტის სხვა განყოფილებების მიზნებიდან გამომდინარე.
კომპლექსური ანალიზის და მისი გამოყენებების განყოფილება შეიქმნა 1976 წელს. მისი შექმნის ინიციატორი და პირველი სამეცნიერო ხელმძღვანელი იყო ინსტიტუტის დამაარსებელი ი.ვეკუა. მისი მოწვევით კომპლექსური ანალიზის და მისი გამოყენებების განყოფილების ხელმძღვანელი 1977 წელს გახდა გ.მანჯავიძე. იმთავითვე განყოფილების სამეცნიერო თემატიკა წარმოდგენილი იყო კლასიკური კომპლექსური ანალიზის ფუნდამენტური მიმართულებებით, როგორიცაა სასაზღვრო ამოცანები ანალიზური და განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისათვის, კვაზიკონფორმული ასახვები, განსაკუთრებული წერტილების მქონე ელიფსურ განტოლებათა სისტემები კომპლექსურ სიბრტყეზე, აგრეთვე, მათემატიკური ფიზიკის სხვადასხვა მოდელებით ინიცირებული ბრტყელი ამოცანები.
ამჟამად კვლევები მიმდინარეობს შემდეგი მიმართულებებით: განზოგადებული ბელტრამის განტოლებათა სისტემის ამონახსნთა სივრცის შესწავლა და მისი კავშირის დადგენა მრავალსახეობის კომპლექსურ სტრუქტურებთან; სიბრტყეზე და რიმანის ზედაპირებზე განსაკუთრებულობების მქონე ელიფსურ განტოლებათა სისტემების ამონახსნთა სივრცის სტრუქტურის კვლევა, სინგულარულ ინტეგრალურ განტოლებათა სისტემების კვადრატურებში ამოხსნადობა; სასაზღვრო ამოცანები განზოგადებული ანალიზური ვექტორ-ფუნქციებისათვის და მათთან დაკავშირებული ზუსტად ამოხსნადი მოდელები თეორიული ფიზიკიდან.
თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტთან 1966 წლიდან არსებულ გამოყენებითი მათემატიკის სამეცნიერო-კვლევით პრობლემურ ლაბორატორიაში იმთავითვე ფუნქციონირებდა ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის განყოფილება. 1968 წელს ამ ლაბორატორიის ბაზაზე დაარსდა გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტი, რომელშიც კვლავ ფუნქციონირებდა ზემოთ დასახელებული განყოფილება 1973 წლამდე, როდესაც საქართველოს მეცნიერებათა აკადემიის ეკონომიკისა და სამართლის ინსტიტუტში ფუნქციონირება დაიწყო ეკონომიკურ-მათემატიკური კვლევისა და მათემატიკური სტატისტიკის სექტორმა, რომელშიც გადავიდა გამოყენებითი მათემატიკის მაშინ უკვე ილია ვეკუას სახელობის სამეცნიერო-კვლევითი ინსტიტუტის ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის განოფილების მთელი პერსონალი. 2016 წელს, ილია ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტისათვის ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის დამოუკიდებელი სამეცნიერო-კვლევითი სტრუქტურული ერთეულის სტატუსის აღდგენის შემდეგ, ამ ინსტიტუტში აღდგენილ იქნა ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის განყოფილებაც.
ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის განყოფილების სამეცნიერო თემატიკის განვითარების ძირითადი მიმართულებებია:
1) დაკვირვებათა განაწილების კანონის ფუნქციონალური მახასიათებლების არაპარამეტრულ შეფასებათა თეორია, რაც, კერძოდ, გულისხმობს ალბათური განაწილების სიმკვრივის თანამედროვე არაპარამეტრულ გულოვან შეფასებათა თეორიას და რეგრესიის ფუნქციის არაპარამეტრულ შეფასებათა თეორიას (ამ თეორიას საფუძველი ჩაეყარა 1964 წ. ერთდროულად საქართველოში და აშშ-ში);
2) ალბათური განაწილების უცნობი პარამეტრების სტატისტიკური შეფასებათა მეთოდები.
3) სტატისტიკური ჰიპოთეზათა შემოწმების მეთოდები;
4) სტოქასტურ დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია (შემთხვევითი კოეფიციენტების მქონე დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნათა შეფასების საკითხები, ზომათა აბსოლუტურად უწყვეტობისა და ლოგარითმული წარმოებულის თვისებების საფუძვლზე).
5) მიღებული შედეგების კომპიუტერული (პროგრამული) რეალიზაცია და პრაქტიკული გამოყენება.
ინსტიტუტში დისკრეტული მათემატიკის განყოფილება 1983 წელს შეიქმნა. ამ განყოფილებაში მუშავდება თანამედროვე დისკრეტული მათემატიკის აქტუალური თემატიკა, სახელდობრ:
1) დისკრეტული, კომბინატორული და ამოზნექილი გეომეტრიის საკითხები (გარკვეული თვისებების მქონე წერტილოვანი სისტემები, ეილერ–ვენის განზოგადებული დიაგრამები, მრავალგანზომილებიან მრავალწახნაგთა სტუქტურა და მათ ტოლშედგენილობასთან დაკავშირებული პრობლემატიკა და სხვ.);
2) უსასრულო კომბინატორიკის საკითხები და მათი გამოყენებები სიმრავლეთა თეორიაში, მათემატიკურ ანალიზსა და ზომის თეორიაში (რამსეის თეორია, დიდი კარდინალური რიცხვები, სიმრავლეთა თითქმის დიზიუნქტური ოჯახები);
3) სხვადასხვა ტიპის სიმრავლურ–თეორიულ აქსიომებთან ასოცირებული მოდელები (შიდა მოდელები, ფრენკელ–მოსტოვსკის მოდელები და ა.შ.);
4) სასრული და უსასრულო გრაფების სტრუქტურული თვისებები და მათი კონკრეტული რეალიზაციები.
წინამორბედი ქვედანაყოფი იყო სისტემური პროგრამირების განყოფილება, რომელიც ინსტიტუტში ფუნქციონირებდა 1973-2006 წლებში.
განყოფილების მიზანია სამეცნიერო კვლევების ჩატარება კომპიუტერულ მეცნიერებებსა და გამოთვლით ლოგიკაში, ამასთან, შედეგების მიყვანა ისეთ დონემდე, რომ შეიძლებოდეს მათი პრაქტიკაში გამოყენება (იგულისხმება შედეგების მიღება კომპიუტერული პროგრამული პროდუქტის სახით, მათი გამოყენების ინსტრუქციების შედგენა და სხვა).
ლაბორატორია მემკვიდრეა ინსტიტუტში 1969-2006 წლებში არსებული "მათემატიკური ლოგიკის და ალგორითმების თეორიის განყოფილებისა" და ი.ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ზუსტ და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა ფაკულტეტთან 2007 წელს დაარსებული "გამოყენებითი ლოგიკისა და პროგრამირების სასწავლო-სამეცნიერო ლაბორატორიისა", რომელიც უნივერსიტეტის ხელმძღვანელობის გადაწყვეტილებით 2019 წელს გადმოტანილ იქნა ინსტიტუტში.
ლაბორატორიის მიზანია აწარმოოს სამეცნიერო კვლევები გამოყენებითი ლოგიკისა და ლოგიკური პროგრამირების მიმართულებით. ტერმინი "გამოყენებითი ლოგიკა" აქ განიხილება ფართო გაგებით და მოიცავს მათემატიკური ლოგიკისა და ხელოვნური ინტელექტის ისეთ ქვედარგებს, როგორიცაა კომპიუტერული და გამოთვლითი ლოგიკა, მტკიცებათა თეორია, ავტომატური მსჯელობა, ცოდნის წარმოდგენა, სემანტიკური ქსელი და სხვა.
ლაბორატორიის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ფუნქციაა თსუ-ში სწავლების სხვადასხვა საფეხურის სტუდენტების მიერ ლაბორატორიული სამუშაოების შესრულების და სხვადასხვა სახის საწარმოო პრაქტიკის (მაგალითად, სხვადასხვა პროგრამული მოდულის შექმნა) გავლის უზრუნველყოფა.