info@viam.science.tsu.ge (+995 32) 2 30 30 40 (+995 32) 2 18 66 45

ინვარიანტული ზომების ზოგიერთი ალგებრულ- ტოპოლოგიურ თვისება და მათი გამოყენებები (FR-18-6190)


დამფინანსებელი

SRNSFGშოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდი

დაწყების თარიღი: 2019-02-22       დასრულების თარიღი: 2021-02-21

უსასრულო განზომილებიან პოლონურ ტოპოლოგიურ ვექტორულ სივრცეებში განხილულია არანულოვანი სიგმა-სასრული ბორელის ზომების არსებობის საკითხი, რომლებიც ინვარიანტული არიან სივრცის ყველგან მკვრივი ქვესივრცეების მიმართ. დადგენილია ასეთი ზომების ისეთი თვისებები, როგორიცაა:
ერთადერთობის თვისება, მეტრიკული ტრანზიტულობის თვისება, შტეინჰაუსის თვისება და სხვ.
გამოკვლეულია არანულოვანი სიგმა-სასრული ბორელის ზომების ოჯახის სიმძლავრე და, აგრეთვე, ასეთი ზომის ინვარიანტული არასეპარაბელური გაგრძელებათა ზომათა ოჯახის სიმძლავრე. ნაჩვენებია, რომ მოცემული ზომის სტრუქტურა შესაძლებელია გადავიტანოთ ნებისმიერ უსასრულო განზომილებიან
წრფივი პოლონურ სივრცეებში.
უსასრულო განზომილებიან პოლონურ ტოპოლოგიურ ვექტორულ სივრცეებში არანულოვანი სიგმა-სასრული ბორელის ზომის გამოყენებით დამტკიცდა, რომ ნამდვილ რიცხვთა ყველა შესაძლო
მიმდევრობების სივრცე დაიყოფა ორ დიზუნქტიურ თითქმის ინვარიანტულ სიმრავლედ. ამ სიმრავლეების გამოყენებით შესაძლებელია მოცემული ზომა გაგრძელდეს არანულოვან სიგმა-სასრული ბორელის ზომამდე, რომელიც ფლობს ძლიერი ერეთადერთობის თვისებას. ნაჩვენებია, რომ არსებობს ნამდვილ რიცხვთა ღერძზე ლებეგის ზომის ინვარიანტული გაგრძელება და ამ
ზომის მიმართ ისეთი ზომადი სიმრავლე, რომელსაც რაიმე წერილში გააჩნია სიმკვრივე არ არის ნაკლები
1
2 -ზე, მაშინ ეს ზომა ფლობს შტეინჰაუსის თვისებას. დამტკიცებულია, რომ ნებისმიერი ტოპოლოგიური ჯგუფზე განსაზღვრული არანულოვანი სიგმა-სასრული ინვარიანტული ზომისათვის, რომელიც ფლობს შტეინჰაუსის თვისებას, არსებობს ამ ზომის ისეთი ინვარიანტული გაგრძელება, რომელსაც ასევე გააჩნია
შტეინჰაუსის თვისება. აგრეთვე, ნაჩვენებია, რომ არსებობს ნამდვილ რიცხვთა ღერძზე ლებეგის ზომის ისეთი გაგრძელება და ამ ზომის მიმართ დადებითი ზომის ისეთი Y სიმრავლე, რომ Y-Y არ არის ნულის მიდამო და თითქმის ყველა წერტილში აქვს სიმკვრივე არა ნაკლები 1
2 -ზე. მოყვანილია ერგოდული ზომის
გაგრძელების აუცილებელი და საკმარისი პირობები.
განხილულია ბერის აზრით მეორე კატეგორიის ტოპოლოგიური E სივრცის ჰომეომორფიზმთა
184
კომუტატიური G ჯგუფი და გამოკვლეულია საკითხი ბერის თვისების არმქონე G-ორბიტების არსებობის შესახებ. მიღებული შედეგი გამოყენებულია იმ კერძო შემთხვევაში, როცა თავად E წარმოადგენს არადისკრეტულ ლოკალურად კომპაქტურ ტოპოლოგიურ ჯგუფს.
განხილულია ვ. სერპინსკის ამოცანის განზოგადება იმ შემთხვევაში, როცა არათვლადი ჯგუფი აღჭურვილია არანულოვანი სიგმა-სასრული სრული ინვარიანტული ზომით. სიურექციული
ჰომომორფიზმების მეთოდის გამოყენებით დამტკიცდა ზოგადი დებულება, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ თუ მოცემულია სიურექციული ჰომომორფიზმი ორ არათვლად G და H ჯგუფს შორის და H-ზე შესრულებულია სერპინსკის ამოცანის განზოგადებული შემთხვევა, მაშინ იგივე ტიპის პირობები
შესრულდება G ჯგუფზეც. ჩამოყალიბებულია თეორემა ისეთი მცირე სიმრავლეების შემთხვევაში, როგორიცაა აბსოლუტურად უგულებელყოფადი სიმრავლეები.

პროექტში მონაწილე პერსონალი:

პუბლიკაციები

  • Alexander Kharazishvili, On orbits without the Baire property, Georgian Math. J., 2019 / 26, no. 4, 625-628, De Gruyter, 2019.
  • Alexander Kharazishvili, On finite sums of periodic functions, Georgian Math. J., 2020 / 27, no. 2, 265-269, De Gruyter, 2020.
  • Alexander Kharazishvili, Some remarks on Sierpiński-Zygmund functions in the strong sense, Georgian Math. J., 2020 / 27, no. 4, 569-575, De Gruyter, 2020.
  • Alexander Kharazishvili, A measure zero set in the plane with absolutely nonmeasurable linear sections, Trans. A. Razmadze Math. Inst., 2020 / 174, no. 3, 359-362, TSU, 2020.
  • Alexander Kharazishvili, On the generalized nonmeasurability of Vitali sets and Bernstein sets, Georgian Math. J., 2021 / 28, no. 4, 575–579, De Gruyter, 2020.
  • Alexander Kharazishvili, On oscillations of real-valued functions, Trans. A. Razmadze Math. Inst., 2021 /  175, no. 1, 63-67, TSU, 2021.
  • Alexander Kharazishvili, On the generalized nonmeasurability of some classical point sets, Trans. A. Razmadze Math. Inst., 2021 / 175, no. 1, 151-153, TSU, 2021.
  • Alexander Kharazishvili, On $T_2$-negligible $S_2$-absolutely nonmeasurable sets in the Euclidean plane, Bull. TICMI,  2021 /25, no. 1, 77-81, VIAM, 2021.