შოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდიდაწყების თარიღი: 2006-01-01 დასრულების თარიღი: 2008-01-01
პროექტის თემატიკის ძირითადი ნაწილი დაკავშირებულია თანამედროვე ანალიზისა და მისი გამოყენებების ინტენსიურად განვითარებად ისეთ მიმართულებასთან, როგორიცაა ბანახის ფუნქციური სივრცეები არასტანდარტული, ცვლადი ზრდადობის რიგით და ოპერატორთა თეორია ამ სივრცეებში. აღნიშნული სივრცეები გაჩნდა გასული საუკუნის 30-იან წლებში ბანახის სივრცეების თეორიის წიაღში. Pირველი შრომები ამ მიმართულებით ეკუთვნის ვ. ორლიჩსა და ი. მუსიელაკს. მართალია, თავდაპირველად მათი შემოღება განპირობებული იყო თეორიული მოსაზრებებით, მაგრამ მოგვიანებით, გასული საუკუნისა და ამ საუკუნის მიჯნაზე აღმოჩნდა, რომ აღნიშნული სივრცეების შესწავლის აუცილებლობა ბუნებრივად ჩნდება არაწრფივი დრეკადობის თეორიისა და უკუმშვად სითხეთა დინების მექანიკის მათემატიკურ მოდელებში, სხვადასხვა ფიზიკური მოვლენების ვარიაციული მეთოდებით გამოკვლევისას. ამ ფაქტმა განაპირობა უკანასკნელ ათწლეულში ვარიაციული პრობლემების ფრიად ინტენსიური კვლევა ცვლადმაჩვენებლიან ლებეგის სივრცეებში, სახელდობრ, ე. წ. ლავრენტიევის მოვლენის გამოკვლევა ვ. ჟიკოვის მიერ, უკუმშვად სითხეთა დინების სხვადასხვა მოდელების და მათთან დაკავშირებული ინტეგრალური ოპერატორებისა და ცვლადმაჩვენებლიან სობოლევის სივრცეების გამოკვლევა (ლ. დიენინგი, მ. რუჟიჩკა, ს. სამკო), პ(ხ)-ლაპლასიანით არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებების და მათთან დაკავშირებული ფუნქციური სივრცეების შესწავლა, რომლებიც იძლევიან საშუალებას აღვწეროთ ფიზიკური მოვლენები “წერტილოვნად ცვლადი” თვისებებით, მაგალითად, არაერთგვაროვან გარემოთა დრეკადობის თეორიაში (ე. აკერბი და ჯ. მინიონი, პ. მარსელინი, ხ. ფანი, ჰ. ჟანგი და სხვები). პროექტი ითვალისწინებს კლასიკური პრობლემების გამოკვლევას იმ არასტანდარტული დასმებით, რაც გააჩინა გამოყენებების მოთხოვნილებამ. ჩვენ ვვარაუდობთ არასტანდარტული ზრდადობის იდეა განვავითაროთ რამდენიმე მიმართულებით. Pროექტი ითვალისწინებს ცვლადმაჩვენებლიანი ფუნქციური სივრცეების, ცვლადი რიგის პოტენციალებისა და ფურიეს ტრიგონომეტრიული მწკრივების ცვლადი რიგით შეჯამებადობის გამოკვლევას მათ ურთიერთკავშირში და მათ გამოყენებებს. აგრეთვე, პროექტის ნაწილი მიეძღვნება გარკვეული არასტანდარტული ფუნქციების (მაგალითად, სერპინსკი-ზიგმუნდის ტიპის ფუნქციების, კოშის ფუნქციონალური განტოლების არატრივიალური ამონახსნების და ა.შ.) კვლევას მათი ზომადობის თვალსაზრისით ამა თუ იმ ზომათა კლასის მიმართ. Aსეთი ფუნქციების არსებობა და მათი თვისებები მნიშვნელოვანია აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზის მთელი რიგი ამოცანებისათვის და დინამიკურ (კვაზიდინამიკურ) სისტემათა თანამედროვე თეორიის ზოგიერთი საკითხისათვის. პროექტის მონაწილეებს ამოხსნილი აქვთ მთელი რიგი პრობლემებისა ცვლადმაჩვენებლიან ლებეგის სივრცეებში ინტეგრალური ოპერატორების თეორიაში, მასთან დაკავშირებულ ფურიეს ტრიგონომეტრიულ მწკრივთა ცვლადი რიგებით შეჯამებადობის საკითხებსა და კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებათა სასაზღვრო ამოცანების თეორიაში. აღვნიშნავთ ზოგიერთ მათგანს: ვ. კოკილაშვილმა (ს. სამკოსთან ერთობლივ ნაშრომში) დაადგინა კოშის სინგულარული ინტეგრალური ოპერატორის შემოსაზღვრულობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ცვლადმაჩვენებლიან ლებეგის სივრცეებში ( სივრცე) ხარისხოვანი წონებით. ამ უკანასკნელზე დაყრდნობით იმავე ავტორების მიერ მიღებული იყო უბან-უბან უწყვეტ კოეფიციენტებიანი სინგულარული ოპერატორის ნეტერისეულობის კრიტერიუმი. ვ. კოკილაშვილისა და ვ. პაატაშვილის მიერ (ს. სამკოსთან ერთობლივ ნაშრომში) დამტკიცებული იყო, რომ კოშის სინგულარული ოპერატორი შემოსაზღვრულია სივრცეში მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა საინტეგრო წირი რეგულარულია (კარლესონისაა). ეს უკანასკნელი წარმოადგენს ფრანგი მათემატიკოსის გ. დავიდის ცნობილი შედეგის განზოგადებას. მათ მიერვე გამოკვლეული იყო ანალიზურ ფუნქციათა თეორიის რიმანის სასაზღვრო ამოცანა კოშის ტიპის ინტეგრალებით წარმოდგენად ფუნქციათა კლასებში, რომელთა სიმკვრივე კლასიდანაა. ვ. პაატაშვილისა და გ. ხუსკივაძის ნაშრომში გამოკვლეულია ზარემბას შერეული სასაზღვრო ამოცანა ლიაპუნოვის წირით შემოსაზღვრულ არეებში. ვ. კოკილაშვილმა და ა. მესხმა დაადგინეს ჰარდის ოპერატორის შემოსაზღვრულობისა და კომპაქტურობის როგორც აუცილებელი, ასევე საკმარისი პირობები წონიან კლასებში მაშინ, როცა ცვლადი მაჩვენებელი საკმაოდ ფართო კლასიდანაა, სახელდობრ, ზომადი და შემოსაზღვრული ფუნქციაა. ა. მესხის მიერ (დ. ედმუნდსთან ერთად) გამოკვლეულია რიმან-ლიუვილის ოპე