info@viam.science.tsu.ge (+995 32) 2 30 30 40 (+995 32) 2 18 66 45

სიმრავლეებისა და ფუნქციების ზომადობის ცნების ზოგიერთი მოდიფიკაცია და მათი გამოყენებები (31/25)


დამფინანსებელი

SRNSFGშოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდი

დაწყების თარიღი: 2013-06-01       დასრულების თარიღი: 2016-06-01

სიმრავლეთა და ფუნქციათა ზომადობის ფუნდამენტურ კონცეფციებთან დაკავშირებული სხვადასხვა საკითხების კვლევა არის აუცილებელი
თანამედროვე მათემატიკის მთელი რიგი ისეთი განშტოებების შემდგომი განვითარებისათვის, როგორიცაა: ნამდვილი და კომპლექსური
ანალიზი, აბსტრაქტული ჰარმონიული ანალიზი, უსასრულო-განზომილებიან ტოპოლოგიურ ვექტორულ სივრცეთა ანალიზი, ერგოდულობის
თეორია, ალბათობის თეორია, შემთხვევით პროცესთა თეორია, თამაშთა თეორია, ზოგადი ტოპოლოგია და სხვა. ამასთან დაკავშირებით,
განსახილველი ამოცანების სპეციფიკიდან გამომდინარე, ზომადობის ცნება შეიძლება განხილულ ან შემოღებულ იქნას განსხვავებული ან
მოდიფიცირებული სახით.
პროექტის ძირითად ამოცანას წარმოადგენს უსასრულო-განზომილებიან ტოპოლოგიურ ვექტორულ სივრცეებში ზომადობისა და ზომის
თვალსაზრისით მცირე (უგულებელყოფადი) სიმრავლეთა ცნებებთან დაკავშირებული სხვადასხვა კონცეფტუალური მიდგომების შემუშავება.
პროექტის უმთავრესი ნაწილი ეძღვნება ასეთ სივრცეებში shy-სიმრავლეთა გამოკვლევასა და შესწავლას. shy-სიმრავლეთა თვისებების
შესასწავლად და მათი დახასიათების მისაღებად განვითარებული იქნება შესაბამისი მეთოდები. განსაკუთრებული ყურადღება დაეთმობა
ტოპოლოგიურ ვექტორულ სივრცეთა კონკრეტულ კლასებში ზომის თვალსაზრისით მცირე სიმრავლეებს შორის ურთიერთმიმართებების
აღწერას.
პროექტის დიდი ნაწილი აგრეთვე დაეთმობა ზომადობის კონცეფციის ერთ მოდიფიცირებულ ვერსიას, რომლის თანახმადაც, იმის ნაცვლად,
რომ განვიხილოთ ზომადობის ცნება E ბაზისურ სივრცეზე განსაზღვრული ერთი კონკრეტული ზომის მიმართ, ჩვენ ვიხილავთ ზომადობის
განზოგადებულ ცნებას E-ზე მოცემულ რაიმე ზომათა M კლასის მიმართ. ამ მოდიფიცირებული ვერსიის თანახმად, E-ს ყოველი ქვესიმრავლე
(შესაბამისად, E-ზე განსაზღვრული ყოველი ნამდვილ-მნიშვნელობიანი ფუნქცია) ხდება ან აბსოლუტურად ზომადი M კლასის მიმართ, ან
ფარდობითად ზომადი M კლასის მიმართ, ან აბსოლუტურად არაზომადი იმავე ზომათა კლასის მიმართ. კერძოდ, M კლასის როლში
შესაძლებელია აღებულ იქნას E-ზე განსაზღვრულ ყველა არანულოვან სიგმა-სასრულო უწყვეტ (ე.ი. დიფუზიურ) ზომათა კლასი M(E). ბევრ
მნიშვნელოვან შემთხვევაში, ამოსავალი E სიმრავლე აღჭურვილია დამატებითი მათემატიკური სტრუქტურებით, მაგალითად, რაიმე T
ტოპოლოგიით ან გარდაქმნათა G ჯგუფით. პირველ შემთხვევაში, ბუნებრივია განვიხილოთ სიმრავლეთა და ფუნქციათა ზომადობა E-ზე
განსაზღვრულ ყველა არანულოვან სიგმა-სასრულო ბორელის უწყვეტ ზომათა გასრულებების M კლასის მიმართ. მეორე შემთხვევაში,
ბუნებრივია განვიხილოთ ზომადობა E-ზე განსაზღვრულ ყველა არანულოვან სრულ სიგმა-სასრულ ზომათა ისეთი კლასის მიმართ, რომელშიც
შემავალი ყოველი ზომა არის ინვარიანტული (ან, უფრო ზოგადად, კვაზიინვარიანტული) G ჯგუფის ყველა ელემენტის მიმართ. პროექტი ახდენს
ასეთი კონცეფციის მნიშვნელობის ილუსტრირებას და წარმოადგენს ზემოთ მოყვანილი მიდგომის მთელ რიგ გამოყენებებს მათემატიკური
ანალიზის კონკრეტულ საკითხებში.

პროექტში მონაწილე პერსონალი:

პუბლიკაციები

  • Mariam Beriashvili, Aleks Petre Kirtadze, Non-separable Extensions of Invariant Borel measures and Measurability properties of Real-Valued Functions, Proc. A. Razmadze Math. Inst. 162(2013), 111–115, TSU / Proc. A. Razmadze Math. Inst., 2013.
  • Alexander Kharazishvili, Some unsolved problems in measure theory, Proc. A. Razmadze Math. Inst., 2013 / 162, 59-77, TSU, 2013.
  • Mariam Beriashvili, Aleks Petre Kirtadze, ON RELATIVE MEASURABILITY OF REAL-VALUED FUNCTIONS WITH RESPECT TO SOME MEASURES IN THE SPACE R^N, Proc. A. Razmadze Math. Inst. 164(2014), 95–97, TSU / Proc. A. Razmadze Math. Inst., 2014.
  • Mariam Beriashvili, Aleks Petre Kirtadze, On the uniqueness property of non-separable extensions of invariant Borel measures and relative measurability of real-valued functions, Georgian Mathematical Journal Volume 21 Issue 1, 49-57, DE GRUYTER, 2014.
  • Alexander Kharazishvili, To the existence of projective absolutely nonmeasurable functions, Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute Vol. 166 (2014), 95–102, TSU, 2014.
  • Alexander Kharazishvili, On a theorem of Luzin and Sierpinski, Proc. A. Razmadze Math. Inst. 164(2014), 109–115, TSU, 2014.
  • Alexander Kharazishvili, On measurability properties of Bernstein sets, Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute Vol. 164 (2014), 63–70, TSU, 2014.
  • Mariam Beriashvili, Measurability properties of certain paradoxical subsets of the real line, Georgian Math. J. 2016; 23 (1):25–32, DE GRUYTER, 2016.