შოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდიდაწყების თარიღი: 2019-01-26 დასრულების თარიღი: 2019-02-02
ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორიაში ფუნქციათა და სიმრავლეთა ზომადობის საკითხები წარმოადგენს ერთ-ერთ მნიშვნელოვან კვლევის საგანს. კვლევის პროცესში კლასიკური ზომადობის განსაზღვრებ, ბუნებრივად განზოგადდა და ცხადია, შესაძლებელია E-ზე განსაზღვრული კონკრეტული m ზომის მიმართ სიმრავლეთა და ფუნქციების ზომადობის შესწავლის ამოცანა შეიცვალოს E-ზე განსაზღვრული სიგმა-სასრულო ზომათა სხვადასხვა M კლასების მიმართ ზომადობის შესწავლის ამოცანით. ამგვარად პროექტში ძირითად საკითხს წარმოადგენს შემდეგი: ნამდვილ მნიშვნელობიანი ფუნქციათა ზომადობის თვისებების გამოკვლევა ბაზისურ E სივრცეზე განსაზღვრულ ზომათა სხვადასხვა M კლასების მამართ. ამ ამოზანის შესწავლისას ძირითადად გამოიყენება მაზურკევიჩის ტიპის წერტილოვანი სიმრავლეები, რომლებიც არაზომადი არიან კლასიკური ლებეგის ზომის მიმართ.
მაზურკევიჩის სიმრავლეების შესახებ, კარგად არის ცნობილი შემდეგი 3 დამოკიდებულება:
თუ მაზურკევიჩის სიმრავლე ანალიზური სიმრავლეა R^2-ში, მაშინ ის იქნება ბორელის სიმრავლე R^2-ში;
არსებობს მაზურკევიჩის სირმავლე, რომელიც არის ლებეგის აზრით ნულზომის სიმრავლე და არის პირველი კატეგორიის სიმრავლე;
არსებობს მაზურკევიჩის სიმრავლე, რომელიც არის არაზომადი ლებეგის აზრით და არ ფლობს ბერის თვისებას.
უფრო კონკრეტულად კი, ჩვენ განვიხილავთ ისეთ მაზურკევიჩის ტიპის სიმრავლეს, რომელიც არაზომადია ლებეგის აზრით, განვიხილოთ ლებეგის ზომის გაგრძელებათა სიგმა-სასრულო დიფუზიურ ინვარინტულ ზომათა ოჯახს. ასეთი ტიპის სიმრავლეების გამოყენებით, ვაჩვენებთ სიმრავლეთა და ფუნქციათა ფარდობითად ზომადობას ლებეგის ზომის დიფუზიურ სიგმა-სასრულო ინვარიანტული გაგრძელებების კლასის მიმართ.