შოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდიდაწყების თარიღი: 2020-01-25 დასრულების თარიღი: 2020-02-01
წარმოდგენილი კვლევა გულისხმობს დესკრიფიცული სიმრავლეთა თეორიისა და
კომბინატორული გეომეტრიის კონცეფციებისა და მეთოდების გამოყენებების შესწავლას ზომის
თეორიაში. გარკვეული აზრით, აბსტრაქტული ბაზისური E სიმრავლის X ქვესიმრავლის ზომა
არის X-ის შინაგანი თვისება და იძლევა X -ის უაღრესად მნიშვნელოვან
ნამდვილმნიშვნელობიან მახასიათებელს.
ზოგადი მიდგომის თანახმად, თუ M არის E
-ზე განსაზღვრულ სიგმა-სასრულ ზომათა
მოცემული კლასი, მაშინ E
-ზე განსაზღვრული ყოველი ნამდვილ-მნიშვნელობიანი ფუნქცია
შეიძლება იყოს ერთ-ერთი შემდეგი სამი კატეგორიიდან:
(i) M კლასის მიმართ აბსოლუტურად არაზომადი ფუნქციები (ე.ი. ყველა ისეთი f ფუნქციები,
რომლებიც არ არიან ზომადი ნებისმიერი ზომის მიმართ M კლასიდან);
(ii) M კლასის მიმართ ფარდობითად ზომადი ფუნქციები (ე.ი. ყველა ისეთი f ფუნქციები,
რომელთათვისაც არსებობს ერთი მაინც m ზომა M კლასიდან ისეთი, რომ f არის ზომადი m
ზომის მიმართ);
(iii) M კლასის მიმართ აბსოლუტურად (უნივერსალურად) ზომადი ფუნქციები (ე.ი. ყველა
ისეთი f ფუნქციები, რომლებიც არიან ზომადი ყოველი ზომის მიმართ M კლასიდან).
შემოთავაზებულ პროექტში მოყვანილი მიდგომების საფუძველზე ჩვენ განვიხილავთ ზომის
თეორიისა და ფუნქციათა თეორიის თვალსაზრისით ევკლიდური სიბრტის უნიფორმულ
ქვესიმრავლეებს. როგორც ცნობილია, უნიფორმული სიმრავლეებისა და მათი დესკრიფციული
სტრუქტურის შესწავლა ლუზინმა დაიწყო. ასეთი სიმრავლეები, მნიშვნელოვან როლს
თამაშობენ როგორც დესკრიფციულ სიმრავლეთა თეორიში, ასევე ზომის თეორიაში, კერძოდ კი
ზომის გაგრძელების ამოცანის შესწავლაში. მაგალითად, სიბრტყეში შესაძლებელია კლასიკური
ორგანზომილებიანი ლებეგის ზომის ისეთი გაგრძელების აგება, რომლის მიმართაც ყოველი Oy-
ღერძის მიმართულებით უნიფორმული სიმრავლე სიბრტყეში ზომადი იქნება აგებული
გაგრძელების მიმართ. წარმოდგენილ პროექტში ჩვენ განვიხილავთ როგორც სიბტყეში
უნიფორმულ სიმრავლეებს, ასევე მრავალგანზომილებიან ევკლიდურ სივრცეში და ასეთი
ტიპის სიმრავლეების გამოყენებებს ფუნქციათა და სიმრავლეთა აბსოლიტურად და
ფარდობითად ზომადობის შესწავლაში.