შოთა რუსთაველის საქართველოს ეროვნული სამეცნიერო ფონდიდაწყების თარიღი: 2012-12-20 დასრულების თარიღი: 2015-12-19
პროექტის თემატიკა დაკავშირებულია წრფივი და არაწრფივი ჰარმონიული ანალიზის ინტეგრალური ოპერატორების ასახვის თვისებების, ფუნქციათა აპროქსიმაციის პრობლემების გამოკვლევასთან ე. წ. ახალ ფუნქციურ სივრცეებში, ფურიეს ანალიზისა და ვეივლეტების თეორიის მთელი რიგი ამოცანების შესწავლასთან და გამოყენებებთან ანალიზურ (განზოგადებულ ანალიზურ) და ჰარმონიულ ფუნქციათა სასაზღვრო ამოცანებში ზემოთ აღნიშნულ სივრცეებში. ახალ ფუნქციურ სივრცეებად მიჩნეულია შემდეგი სივრცეები: ცვლადმაჩვენებლიანი ლებეგისა და ამალგამ სივრცეები, ცვლადმაჩვენებლიანი მორის სივრცეები, გრანდ ლებეგის სივრცეები, გრანდ მორის სივრცეები და მათი წონიანი ანალოგები. პროექტის სიახლე მდგომარეობს შემდეგში: • პროექტი ითვალისწინებს ფართო კლასის ინტეგრალური და ფურიეს ოპერატორების ასახვის თვისებების გამოკვლევას ახალ ფუნქციურ სივრცეებში. მაგალითად, ჩვენ ვვარაუდობთ დავადგინოთ კვაზიმეტრიკულ სივრცეებზე განსაზღვრული სხვადასხვა ტიპის სინგულარული ინტეგრალებისა და პოტენციალების ოპერატორების კომუტატორების შემოსაზღვრულობის კრიტერიუმები მორის განზოგადებულ სივრცეებში; მოცემული იქნება გამოყენებები ელიფსური ტიპის დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების ნორმების შეფასებებში; • ჩვენი მიზანია დავადგინოთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომლებიც განაპირობებენ წონიანი გულიანი ინტეგრალური ოპერატორების შემოსაზღვრულობას/კომ¬პაქტურობას ცვლადმაჩვენებლიან ლებეგისა და ამალგამ სივრცეებში; დადგენილი იქნება ორწონიანი უტოლობები მაქსიმალური ფუნქციებისათვის ცვლადმაჩვენებლიან ამალგამ სივრცეებში; • პირველად მათემატიკურ ლიტერატურაში გამოკვლეული იქნება ფუნქციათა აპროქსიმაციის პრობლემები ახალ ფუნქციურ სივრცეებში; ეს მოხერხდება ზემოთ აღნიშნულ სივრცეებში ტრიგონომეტრიული პოლინომებისათვის კარგად ცნობილი ბერნშტეინისა და ნიკოლსკის უტოლობების განზოგადების საფუძველზე; • ნავარაუდევია შესწავლილ იქნეს უწყვეტი მრავალი ცვლადის ფუნქციის წარმოდგენა მწკრივებით ერთი, საზოგადოდ სხვადასხვა ცვლადების მიმართ; • ჩვენი ერთ-ერთი მიზანია შევისწავლოთ ჯერადი ფურიე-ჰაარის მწკრივების კერძო ჯამების მაჟორანტების, პელის ფუნქციების ინტეგრებადობის თვისებები; • ჩვენ ვვარაუდობთ განვაზოგადოთ მენშოვ-რადემახერისა და მენშოვის კარგად ცნობილი თეორემები “ცვლადმაჩვენებლიანი” სამკუთხა მატრიცით; • გამოკვლეული იქნება ზომადი ფუნქციების თითქმის ყველგან კრებადობის აზრით აპროქსიმაციის საკითხები რაგინდ დიდი ლაკუნების მქონე ტრიგოგნომეტრიული მწკრივების კერძო ჯამების ქვემიმდევრობებით; • გათვალისწინებულია ისეთი ფუნქციების კლასების დადგენა, რომლებიც განაპირობებენ მოცემული f ფუნქციისათვის -ს ჯერადი სეპარაბელური ვეივლეტების თითქმის ყველგან კრებადობას; • შემუშავებული იქნება რაციონალურკოეფიციენტებიანი მატრიცების კონსტრუქციის მეთოდი; აგრეთვე ეფექტური მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ვეივლეტური მატრიცის პირველი სტრიქონის საშუალებით ავაგოთ დანარჩენი სტრიქონები; • ცვლადი ანალიზის ჩარჩოებში ამოხსნილი იქნება წრფივი შეუღლების სასაზღვრო ამოცანა ისეთი ოსცილებადი შეუღლებული კოეფიციენტით, რომელიც აღებულია უფრო ზოგადი კლასიდან, ვიდრე სიმონენკოს კლასია; • ნავარაუდევია განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისათვის შემოღებულ იქნას ცვლადმაჩვენებლიანი ჰარდისა და სმირნოვის კლასები და ისინი გამოყენებული იქნას კერძოწარმოებულებიან დიფერენციალურ განტოლებებში; • არაგლუვსაზღვრიან არეებში ამოხსნილი იქნება რიმანისა და რიმან-ჰილბერტის სასაზღვრო ამოცანა განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისათვის; დადგენილი იქნება ამოხსნადობის პირობები, არაგლუვი საზღვრის კუთხეების სიდიდის, ცვლადი მაჩვენებლის და სასაზღვრო ფუნქციების გავლენა ერთგვაროვანი განტოლების წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნთა რიცხვზე